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• © Jimmy.ROUSSEL - Sept 2007

LA DIFFUSION BROWNIENNE

INTRODUCTION

Le mouvement Brownien a été découvert en 1827 par le botaniste anglais R.Brown. Observant au microscope des grains de pollen en suspension dans l'eau, il constata qu'ils étaient en constante agitation et rejeta l'hypothèse d'une explication biologique en faveur d'une explication physique qu'il ne sut identifier. Ce n'est qu'au début du vingtième siècle qu'Albert Einstein reconnu dans ce mouvement l'existence de molécules invisibles au microscope (les molécules d'eau) heurtant de façon aléatoire les grains de pollen.

Einstein considéra alors que le mouvement des grains de pollen pouvait se ramener à une marche au hasard : soumis aux chocs incessants des molécules d'eau, le grain de pollen produit de petits déplacements de direction aléatoire (toutes équiprobables) et de longueur aléatoire.

il s'agit ici de voir comment le modèle de la marche au hasard peut expliquer le processus de diffusion. Nous verrons comment le désordre microscopique génère un ordre macroscopique.

LA MARCHE ALÉATOIRE

Considérons un point -que nous appellerons particule brownienne- susceptible de se déplacer sur un plan. Cette particule décrit une marche aléatoire quand chaque pas est de direction aléatoire et de longueur aléatoire. Par exemple si l'on note (x_i, y_i) les coordonnées du point après i pas, alors le (i+1)-ème pas est tel que :

x_i+1=x_i+δx y_i+1=y_i+δy

où δx et δy sont des variables aléatoires comprises entre -a et +a. Ainsi, la particules brownienne fait des pas de direction aléatoire et de longueur aléatoire comprise entre 0 et a√2. Le chemin parcouru par la particule est une marche aléatoire à pas indépendants que l'on peut visualiser sur l'applet suivant:

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Cette simulation appelle plusieurs remarques :

• Bien que toutes les directions soient équivalentes, la marche aléatoire ne révèle aucune isotropie ! En fait la marche aléatoire n'est que statistiquement isotrope ; c'est-à-dire que l'isotropie ne se révèle que sur un grand nombre de marches. Ce sera très clair sur la prochaine simulation.
• On peut se poser la question simple suivante : la particule brownienne va-elle parcourir tout l'espace lorsque N>>1. Autrement dit est ce que la probabilité qu'un point de l'espace soit visité tend vers 1 lorsque N tend vers l'infini ? Eh bien oui ! ce n'est pas le cas en dimension 3 mais c'est le cas en dimension 2.
  Et alors ? -me direz vous.
  Vous ne trouvez pas curieux qu'une ligne remplisse tout l'espace ? En fait ce n'est pas une ligne "normale" de dimension 1. On dit qu'il s'agit d'une ligne fractale de dimension 2.

Passons maintenant au comportement collectif...

LA DIFFUSION BROWNIENNE

Supposez que vous disposiez une goutte d'encre sur une surface liquide. Cette goutte va se répandre en suivant une loi d'étalement dite loi de diffusion. On peut tout a fait interpréter ce qui se passe à l'échelle macroscopique comme le résultat collectif d'un grand nombre de marches aléatoires suivies par les molécules d'encre.

Simulation

Regardons tout de suite ce qu'il se passe. On considère 3000 particules browniennes situées initialement au centre du carré gris (de coté L). Imaginons qu'on les filme au cours de leur marche aléatoire. Observons :

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On remarque plusieurs choses :

• La diffusion est isotrope : on voit bien que l'étalement ne suit pas une direction particulière mais toutes les directions. On voit bien là que l'isotropie se révèle macroscopiquement car il s'agit d'une propriété statistique.
• La vitesse d'étalement diminue au cours du temps. Le processus de diffusion est soumise à une loi de progression caractéristique que nous allons voir maintenant.

Loi de diffusion

Pour mesurer l'étalement moyen du paquet de particules browniennes, on pourrait définir la distance moyenne d'une particule brownienne (les crochets désignent la moyenne) :

r_N=<√(x_N²+y_N²)>

On préfère définir une grandeur qui mesure aussi l'étalement mais qui a le bon goût d'être facilement calculable et qui, de plus, joue un rôle plus fondamental en statistique (voir théorème de la limite centrale) :

R_N=√(<x_N²+y_N²>)

On montre la loi suivante :

R_N=(√2/3).a.√N

Autrement dit, l'étalement varie en √N, et comme le nombre de pas est proportionnel au temps t, on a une loi du type :

R_N²=2D.t

Cette loi est caractéristique des phénomèmes de diffusion. La constante D est appelée coefficient de diffusion.L'applet suivant met en évidence cette loi :

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Remarquez que j'ai contraint les molécules à rester dans le cadre ce qui génère des "effets de bord". En effet, si l'on attend suffisamment, on obtient un mélange homogène de particules browniennes. On montre alors que :

R_N²=L²/6

oû L est l'arête du cadre carré.

Conclusion

Nous avons montré comment un processus aléatoire aussi simple que la marche aléatoire pouvait expliquer un phénomène comme la diffusion et permettre d'établir la loi dite de diffusion. Il est intéressant de remarquer ici que le libre arbitre des particules (soumise au hasard pur) n'est pas incompatible avec une loi collective (loi de diffusion). Enfin, ce modèle très naturel ici (il ne l'était pas à l'époque d'Einstein où l'hypothèse d'un monde microscopique discontinu (les atomes) faisait encore débat) est très utilisé en physique statistique pour décrire des phénomènes très éloignés les uns des autres ;dans le désordre, citons :

• La diffusion de la chaleur ;
• la diffusion en milieux poreux ;
• les marchés financiers ;
• la physique des polymères, etc.